Løs (-y^2+3y+5=0)

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

Løs for y

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4,192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1,192582404$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 3 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 3.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 5.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 9 til 20.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} når ± er plus. Adder -3 til \sqrt{29}.

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

Divider -3+\sqrt{29} med -2.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{29} fra -3.

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

Divider -3-\sqrt{29} med -2.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-y^{2}+3y=-5$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

Divider 3 med -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

Divider -5 med -1.

$$y^{2}-3y=5$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

Adder 5 til \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

Faktor y^{2}-3y+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Forenkling.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$