Løs (y+y^3/3+x^2/2)dx+1/4(x+xy^2)dy=0

$$( y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } ) d x + \frac { 1 } { 4 } ( x + x y ^ { 2 } ) d y = 0$$

Løs for d

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\text{ or }y=\frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}-3x^{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}+3x^{2}}\right)\end{matrix}\right,$$

Vejledning i at løse lineær ligning

Gang begge sider af ligningen med 12, det mindste fælles multiplum af 3,2,4.

$$12\left(y+\frac{y^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Mindste fælles multiplum for 3 og 2 er 6. Multiplicer \frac{y^{3}}{3} gange \frac{2}{2}. Multiplicer \frac{x^{2}}{2} gange \frac{3}{3}.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}}{6}+\frac{3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Da \frac{2y^{3}}{6} og \frac{3x^{2}}{6} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 12 med y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}.

$$\left(12y+12\times \frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Ophæv den største fælles faktor 6 i 12 og 6.

$$\left(12y+2\left(2y^{3}+3x^{2}\right)\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med 2y^{3}+3x^{2}.

$$\left(12y+4y^{3}+6x^{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 12y+4y^{3}+6x^{2} med d.

$$\left(12yd+4y^{3}d+6x^{2}d\right)x+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 12yd+4y^{3}d+6x^{2}d med x.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med x+xy^{2}.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3x+3xy^{2}\right)dy=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x+3xy^{2} med d.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3xd+3xy^{2}d\right)y=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3xd+3xy^{2}d med y.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy+3xdy^{3}=0$$

Kombiner 12ydx og 3xdy for at få 15ydx.

$$15ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy^{3}=0$$

Kombiner 4y^{3}dx og 3xdy^{3} for at få 7y^{3}dx.

$$15ydx+7y^{3}dx+6dx^{3}=0$$

Kombiner alle led med d.

$$\left(15yx+7y^{3}x+6x^{3}\right)d=0$$

Ligningen er nu i standardform.

$$\left(6x^{3}+7xy^{3}+15xy\right)d=0$$

Divider 0 med 15yx+7y^{3}x+6x^{3}.

$$d=0$$

Løs for x

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{; }x=-\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{, }&y\leq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right,$$