Løs (x-20)[600-10(x-25)]=550

$$( x - 20 ) [ 600 - 10 ( x - 25 ) ] = 550$$

Løs for x

$$x = \frac{3 \sqrt{445} + 105}{2} \approx 84,142534665$$

$$x = \frac{105 - 3 \sqrt{445}}{2} \approx 20,857465335$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -10 med x-25.

$$\left(x-20\right)\left(600-10x+250\right)=550$$

Tilføj 600 og 250 for at få 850.

$$\left(x-20\right)\left(850-10x\right)=550$$

Anvend fordelingsegenskaben ved at gange hvert led i x-20 med hvert led i 850-10x.

$$850x-10x^{2}-17000+200x=550$$

Kombiner 850x og 200x for at få 1050x.

$$1050x-10x^{2}-17000=550$$

Subtraher 550 fra begge sider.

$$1050x-10x^{2}-17000-550=0$$

Subtraher 550 fra -17000 for at få -17550.

$$1050x-10x^{2}-17550=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-10x^{2}+1050x-17550=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -10 med a, 1050 med b og -17550 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1050±\sqrt{1050^{2}-4\left(-10\right)\left(-17550\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Kvadrér 1050.

$$x=\frac{-1050±\sqrt{1102500-4\left(-10\right)\left(-17550\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer -4 gange -10.

$$x=\frac{-1050±\sqrt{1102500+40\left(-17550\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer 40 gange -17550.

$$x=\frac{-1050±\sqrt{1102500-702000}}{2\left(-10\right)}$$

Adder 1102500 til -702000.

$$x=\frac{-1050±\sqrt{400500}}{2\left(-10\right)}$$

Tag kvadratroden af 400500.

$$x=\frac{-1050±30\sqrt{445}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer 2 gange -10.

$$x=\frac{-1050±30\sqrt{445}}{-20}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1050±30\sqrt{445}}{-20} når ± er plus. Adder -1050 til 30\sqrt{445}.

$$x=\frac{30\sqrt{445}-1050}{-20}$$

Divider -1050+30\sqrt{445} med -20.

$$x=\frac{105-3\sqrt{445}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1050±30\sqrt{445}}{-20} når ± er minus. Subtraher 30\sqrt{445} fra -1050.

$$x=\frac{-30\sqrt{445}-1050}{-20}$$

Divider -1050-30\sqrt{445} med -20.

$$x=\frac{3\sqrt{445}+105}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{105-3\sqrt{445}}{2} x=\frac{3\sqrt{445}+105}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -10 med x-25.

$$\left(x-20\right)\left(600-10x+250\right)=550$$

Tilføj 600 og 250 for at få 850.

$$\left(x-20\right)\left(850-10x\right)=550$$

Anvend fordelingsegenskaben ved at gange hvert led i x-20 med hvert led i 850-10x.

$$850x-10x^{2}-17000+200x=550$$

Kombiner 850x og 200x for at få 1050x.

$$1050x-10x^{2}-17000=550$$

Tilføj 17000 på begge sider.

$$1050x-10x^{2}=550+17000$$

Tilføj 550 og 17000 for at få 17550.

$$1050x-10x^{2}=17550$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-10x^{2}+1050x=17550$$

Divider begge sider med -10.

$$\frac{-10x^{2}+1050x}{-10}=\frac{17550}{-10}$$

Division med -10 annullerer multiplikationen med -10.

$$x^{2}+\frac{1050}{-10}x=\frac{17550}{-10}$$

Divider 1050 med -10.

$$x^{2}-105x=\frac{17550}{-10}$$

Divider 17550 med -10.

$$x^{2}-105x=-1755$$

Divider -105, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{105}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{105}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-105x+\left(-\frac{105}{2}\right)^{2}=-1755+\left(-\frac{105}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{105}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-105x+\frac{11025}{4}=-1755+\frac{11025}{4}$$

Adder -1755 til \frac{11025}{4}.

$$x^{2}-105x+\frac{11025}{4}=\frac{4005}{4}$$

Faktor x^{2}-105x+\frac{11025}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{105}{2}\right)^{2}=\frac{4005}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{105}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4005}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{105}{2}=\frac{3\sqrt{445}}{2} x-\frac{105}{2}=-\frac{3\sqrt{445}}{2}$$

Adder \frac{105}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{445}+105}{2} x=\frac{105-3\sqrt{445}}{2}$$