Løs (x-2)^2geq7

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Løs for x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

Løsningsvejledning

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 1 med a, -4 med b, og -3 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Løs ligningen x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

For at produktet bliver ≥0, skal x-\left(\sqrt{7}+2\right) og x-\left(2-\sqrt{7}\right) begge være ≤0 eller begge være ≥0. Overvej sagen, når x-\left(\sqrt{7}+2\right) og x-\left(2-\sqrt{7}\right) begge er ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Overvej sagen, når x-\left(\sqrt{7}+2\right) og x-\left(2-\sqrt{7}\right) begge er ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$