Løs (x-1)(x+2)-(2x-3)(x+4)-x+14=0

$$( x - 1 ) ( x + 2 ) - ( 2 x - 3 ) ( x + 4 ) - x + 14 = 0$$

Løs for x

$$x=-8$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med x+2, og kombiner ens led.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-3 med x+4, og kombiner ens led.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

For at finde det modsatte af 2x^{2}+5x-12 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Kombiner x^{2} og -2x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Kombiner x og -5x for at få -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

Tilføj -2 og 12 for at få 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Kombiner -4x og -x for at få -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

Tilføj 10 og 14 for at få 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+24. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-5 ab=-24=-24$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Løsningen er det par, der får summen -5.

$$a=3 b=-8$$

Omskriv -x^{2}-5x+24 som \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-8x+24\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-8x+24\right)$$

Udx i den første og 8 i den anden gruppe.

$$x\left(-x+3\right)+8\left(-x+3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+3\right)\left(x+8\right)$$

Løs -x+3=0 og x+8=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-8$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med x+2, og kombiner ens led.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-3 med x+4, og kombiner ens led.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

For at finde det modsatte af 2x^{2}+5x-12 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Kombiner x^{2} og -2x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Kombiner x og -5x for at få -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

Tilføj -2 og 12 for at få 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Kombiner -4x og -x for at få -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

Tilføj 10 og 14 for at få 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -5 med b og 24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 25 til 96.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 121.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±11}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{5±11}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±11}{-2} når ± er plus. Adder 5 til 11.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Divider 16 med -2.

$$x=-8$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±11}{-2} når ± er minus. Subtraher 11 fra 5.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Divider -6 med -2.

$$x=3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-8 x=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med x+2, og kombiner ens led.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-3 med x+4, og kombiner ens led.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

For at finde det modsatte af 2x^{2}+5x-12 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Kombiner x^{2} og -2x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Kombiner x og -5x for at få -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

Tilføj -2 og 12 for at få 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Kombiner -4x og -x for at få -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

Tilføj 10 og 14 for at få 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

Subtraher 24 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$-x^{2}-5x=-24$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}-5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-1}\right)x=-\frac{24}{-1}$$

Divider -5 med -1.

$$x^{2}+5x=-\frac{24}{-1}$$

Divider -24 med -1.

$$x^{2}+5x=24$$

Divider 5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Adder 24 til \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Subtraher \frac{5}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-8$$