Løs (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Løs for x

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

$$x=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Kombiner x^{2} og 4x^{2} for at få 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Kombiner -2x og 8x for at få 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Tilføj 1 og 4 for at få 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Subtraher 16 fra begge sider.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Subtraher 16 fra 5 for at få -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 5x^{2}+ax+bx-11. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -55.

$$-1,55 -5,11$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

Løsningen er det par, der får summen 6.

$$a=-5 b=11$$

Omskriv 5x^{2}+6x-11 som \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Ud5x i den første og 11 i den anden gruppe.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Løs x-1=0 og 5x+11=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Kombiner x^{2} og 4x^{2} for at få 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Kombiner -2x og 8x for at få 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Tilføj 1 og 4 for at få 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Subtraher 16 fra begge sider.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Subtraher 16 fra 5 for at få -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 6 med b og -11 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Adder 36 til 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 256.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±16}{10} når ± er plus. Adder -6 til 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Divider 10 med 10.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±16}{10} når ± er minus. Subtraher 16 fra -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{-22}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Kombiner x^{2} og 4x^{2} for at få 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Kombiner -2x og 8x for at få 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Tilføj 1 og 4 for at få 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Subtraher 5 fra begge sider.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Subtraher 5 fra 16 for at få 11.

$$5x^{2}+6x=11$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Divider \frac{6}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{5}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Føj \frac{11}{5} til \frac{9}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Subtraher \frac{3}{5} fra begge sider af ligningen.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$