Løs (x)=3x^2-7x+2

$$( x ) = 3 x ^ { 2 } - 7 x + 2$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{10} + 4}{3} \approx 2,387425887$$

$$x=\frac{4-\sqrt{10}}{3}\approx 0,27924078$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$x-3x^{2}=-7x+2$$

Tilføj 7x på begge sider.

$$x-3x^{2}+7x=2$$

Kombiner x og 7x for at få 8x.

$$8x-3x^{2}=2$$

Subtraher 2 fra begge sider.

$$8x-3x^{2}-2=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+8x-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 8 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+12\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange -2.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-24}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 64 til -24.

$$x=\frac{-8±\sqrt{40}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 40.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{-6} når ± er plus. Adder -8 til 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-8}{-6}$$

Divider -8+2\sqrt{10} med -6.

$$x=\frac{4-\sqrt{10}}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{-6} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{10} fra -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-8}{-6}$$

Divider -8-2\sqrt{10} med -6.

$$x=\frac{\sqrt{10}+4}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{4-\sqrt{10}}{3} x=\frac{\sqrt{10}+4}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$x-3x^{2}=-7x+2$$

Tilføj 7x på begge sider.

$$x-3x^{2}+7x=2$$

Kombiner x og 7x for at få 8x.

$$8x-3x^{2}=2$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}+8x=2$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+8x}{-3}=\frac{2}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{8}{-3}x=\frac{2}{-3}$$

Divider 8 med -3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{2}{-3}$$

Divider 2 med -3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Divider -\frac{8}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{4}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{4}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{4}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{2}{3}+\frac{16}{9}$$

Føj -\frac{2}{3} til \frac{16}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{10}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Adder \frac{4}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{10}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{10}}{3}$$