Løs (x)=3(x-5)(x+3)

$$( x ) = 3 ( x - 5 ) ( x + 3 )$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{589} + 7}{6} \approx 5,2115537$$

$$x=\frac{7-\sqrt{589}}{6}\approx -2,878220367$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med x-5.

$$x=\left(3x-15\right)\left(x+3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-15 med x+3, og kombiner ens led.

$$x=3x^{2}-6x-45$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$x-3x^{2}=-6x-45$$

Tilføj 6x på begge sider.

$$x-3x^{2}+6x=-45$$

Kombiner x og 6x for at få 7x.

$$7x-3x^{2}=-45$$

Tilføj 45 på begge sider.

$$7x-3x^{2}+45=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+7x+45=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 7 med b og 45 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-3\right)\times 45}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-3\right)\times 45}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+12\times 45}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange 45.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+540}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 49 til 540.

$$x=\frac{-7±\sqrt{589}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{589}}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±\sqrt{589}}{-6} når ± er plus. Adder -7 til \sqrt{589}.

$$x=\frac{\sqrt{589}-7}{-6}$$

Divider -7+\sqrt{589} med -6.

$$x=\frac{7-\sqrt{589}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±\sqrt{589}}{-6} når ± er minus. Subtraher \sqrt{589} fra -7.

$$x=\frac{-\sqrt{589}-7}{-6}$$

Divider -7-\sqrt{589} med -6.

$$x=\frac{\sqrt{589}+7}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{7-\sqrt{589}}{6} x=\frac{\sqrt{589}+7}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med x-5.

$$x=\left(3x-15\right)\left(x+3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-15 med x+3, og kombiner ens led.

$$x=3x^{2}-6x-45$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$x-3x^{2}=-6x-45$$

Tilføj 6x på begge sider.

$$x-3x^{2}+6x=-45$$

Kombiner x og 6x for at få 7x.

$$7x-3x^{2}=-45$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}+7x=-45$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+7x}{-3}=-\frac{45}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{7}{-3}x=-\frac{45}{-3}$$

Divider 7 med -3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{45}{-3}$$

Divider -45 med -3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=15$$

Divider -\frac{7}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=15+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=15+\frac{49}{36}$$

Adder 15 til \frac{49}{36}.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{589}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{589}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{589}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{589}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{589}}{6}$$

Adder \frac{7}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{589}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{589}}{6}$$