Løs (x+1)^2-5x(x+1)=0

$$( x + 1 ) ^ { 2 } - 5 x ( x + 1 ) = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=-1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5x med x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Kombiner x^{2} og -5x^{2} for at få -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Kombiner 2x og -5x for at få -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -4x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -4.

$$1,-4 2,-2$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Løsningen er det par, der får summen -3.

$$a=1 b=-4$$

Omskriv -4x^{2}-3x+1 som \left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Ud-x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$-x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 4x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(4x-1\right)\left(-x-1\right)$$

Løs 4x-1=0 og -x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5x med x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Kombiner x^{2} og -5x^{2} for at få -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Kombiner 2x og -5x for at få -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, -3 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 9 til 16.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af 25.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$x=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$x=\frac{3±5}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±5}{-8} når ± er plus. Adder 3 til 5.

$$x=\frac{8}{-8}$$

Divider 8 med -8.

$$x=-1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±5}{-8} når ± er minus. Subtraher 5 fra 3.

$$x=-\frac{2}{-8}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{-8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1 x=\frac{1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5x med x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Kombiner x^{2} og -5x^{2} for at få -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Kombiner 2x og -5x for at få -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$-4x^{2}-3x=-1$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4x^{2}-3x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)x=-\frac{1}{-4}$$

Divider -3 med -4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{1}{-4}$$

Divider -1 med -4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}$$

Divider \frac{3}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{8}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Føj \frac{1}{4} til \frac{9}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Subtraher \frac{3}{8} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$