Løs (x+1)^2=x(2x+1)

$$( x + 1 ) ^ { 2 } = x ( 2 x + 1 )$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=x\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 2x+1.

$$x^{2}+2x+1=2x^{2}+x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}+2x+1-2x^{2}=x$$

Kombiner x^{2} og -2x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}+2x+1=x$$

Subtraher x fra begge sider.

$$-x^{2}+2x+1-x=0$$

Kombiner 2x og -x for at få x.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 1 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 1 til 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} når ± er plus. Adder -1 til \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Divider -1+\sqrt{5} med -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{5} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Divider -1-\sqrt{5} med -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=x\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 2x+1.

$$x^{2}+2x+1=2x^{2}+x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}+2x+1-2x^{2}=x$$

Kombiner x^{2} og -2x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}+2x+1=x$$

Subtraher x fra begge sider.

$$-x^{2}+2x+1-x=0$$

Kombiner 2x og -x for at få x.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$-x^{2}+x=-1$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Divider 1 med -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Divider -1 med -1.

$$x^{2}-x=1$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Adder 1 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$