Løs (k+1/4)^2-1/16-1/5=0

$$( k + \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 16 } - \frac { 1 } { 5 } = 0$$

Løs for k

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx 0,262347538$$

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx -0,762347538$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

Subtraher \frac{1}{16} fra \frac{1}{16} for at få 0.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, \frac{1}{2} med b og -\frac{1}{5} med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -\frac{1}{5}.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{5}}}{2}$$

Føj \frac{1}{4} til \frac{4}{5} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{21}{20}}}{2}$$

Tag kvadratroden af \frac{21}{20}.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2} når ± er plus. Adder -\frac{1}{2} til \frac{\sqrt{105}}{10}.

$$k=\frac{\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

Divider -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{105}}{10} med 2.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2} når ± er minus. Subtraher \frac{\sqrt{105}}{10} fra -\frac{1}{2}.

$$k=\frac{-\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

Divider -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{105}}{10} med 2.

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

Subtraher \frac{1}{16} fra \frac{1}{16} for at få 0.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

Tilføj \frac{1}{5} på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k=\frac{1}{5}$$

Divider \frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{1}{5}+\frac{1}{16}$$

Føj \frac{1}{5} til \frac{1}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{21}{80}$$

Faktor k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{80}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{80}}$$

Forenkling.

$$k+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{105}}{20} k+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{20}$$

Subtraher \frac{1}{4} fra begge sider af ligningen.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$