Løs (9-x)(x-4)=3x

$$( 9 - x ) ( x - 4 ) = 3 x$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i+5\approx 5-3,31662479i$$

$$x=5+\sqrt{11}i\approx 5+3,31662479i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 9-x med x-4, og kombiner ens led.

$$13x-36-x^{2}=3x$$

Subtraher 3x fra begge sider.

$$13x-36-x^{2}-3x=0$$

Kombiner 13x og -3x for at få 10x.

$$10x-36-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+10x-36=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 10 med b og -36 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-36\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-36\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-36\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -36.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-144}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 100 til -144.

$$x=\frac{-10±\sqrt{-44}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af -44.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{11}i}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±2\sqrt{11}i}{-2} når ± er plus. Adder -10 til 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-10+2\sqrt{11}i}{-2}$$

Divider -10+2i\sqrt{11} med -2.

$$x=-\sqrt{11}i+5$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±2\sqrt{11}i}{-2} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{11} fra -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-10}{-2}$$

Divider -10-2i\sqrt{11} med -2.

$$x=5+\sqrt{11}i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\sqrt{11}i+5 x=5+\sqrt{11}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 9-x med x-4, og kombiner ens led.

$$13x-36-x^{2}=3x$$

Subtraher 3x fra begge sider.

$$13x-36-x^{2}-3x=0$$

Kombiner 13x og -3x for at få 10x.

$$10x-36-x^{2}=0$$

Tilføj 36 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$10x-x^{2}=36$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+10x=36$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+10x}{-1}=\frac{36}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{10}{-1}x=\frac{36}{-1}$$

Divider 10 med -1.

$$x^{2}-10x=\frac{36}{-1}$$

Divider 36 med -1.

$$x^{2}-10x=-36$$

Divider -10, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -5. Adder derefter kvadratet af -5 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-36+\left(-5\right)^{2}$$

Kvadrér -5.

$$x^{2}-10x+25=-36+25$$

Adder -36 til 25.

$$x^{2}-10x+25=-11$$

Faktor x^{2}-10x+25. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-5\right)^{2}=-11$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Forenkling.

$$x-5=\sqrt{11}i x-5=-\sqrt{11}i$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$x=5+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i+5$$