Løs (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Tilføj 81 og 162 for at få 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Kombiner -90x og -180x for at få -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Kombiner 25x^{2} og 50x^{2} for at få 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Subtraher 24 fra 243 for at få 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 75 med a, -270 med b, og 219 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Løs ligningen x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} og x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} have modsatte tegn. Overvej sagen, når x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} er positiv og x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} er negativ.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen, når x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} er positiv og x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} er negativ.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$