Løs (76-4x)(8+2x)=1080

$$( 76 - 4 x ) ( 8 + 2 x ) = 1080$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}\approx 7,5+1,658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}\approx 7,5-1,658312395i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 76-4x med 8+2x, og kombiner ens led.

$$608+120x-8x^{2}=1080$$

Subtraher 1080 fra begge sider.

$$608+120x-8x^{2}-1080=0$$

Subtraher 1080 fra 608 for at få -472.

$$-472+120x-8x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-8x^{2}+120x-472=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -8 med a, 120 med b og -472 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\left(-8\right)\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Kvadrér 120.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\left(-8\right)\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer -4 gange -8.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+32\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer 32 gange -472.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-15104}}{2\left(-8\right)}$$

Adder 14400 til -15104.

$$x=\frac{-120±\sqrt{-704}}{2\left(-8\right)}$$

Tag kvadratroden af -704.

$$x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer 2 gange -8.

$$x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16} når ± er plus. Adder -120 til 8i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-120+8\sqrt{11}i}{-16}$$

Divider -120+8i\sqrt{11} med -16.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16} når ± er minus. Subtraher 8i\sqrt{11} fra -120.

$$x=\frac{-8\sqrt{11}i-120}{-16}$$

Divider -120-8i\sqrt{11} med -16.

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2} x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 76-4x med 8+2x, og kombiner ens led.

$$608+120x-8x^{2}=1080$$

Subtraher 608 fra begge sider.

$$120x-8x^{2}=1080-608$$

Subtraher 608 fra 1080 for at få 472.

$$120x-8x^{2}=472$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-8x^{2}+120x=472$$

Divider begge sider med -8.

$$\frac{-8x^{2}+120x}{-8}=\frac{472}{-8}$$

Division med -8 annullerer multiplikationen med -8.

$$x^{2}+\frac{120}{-8}x=\frac{472}{-8}$$

Divider 120 med -8.

$$x^{2}-15x=\frac{472}{-8}$$

Divider 472 med -8.

$$x^{2}-15x=-59$$

Divider -15, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{15}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{15}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-59+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{15}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-59+\frac{225}{4}$$

Adder -59 til \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{11}{4}$$

Faktor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Adder \frac{15}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}$$