Løs (5x-4)^2-(3x+7)^2leq0

$$( 5 x - 4 ) ^ { 2 } - ( 3 x + 7 ) ^ { 2 } \leq 0$$

Løs for x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{3}{8},\frac{11}{2}\end{bmatrix}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16-\left(3x+7\right)^{2}\leq 0$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(3x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16-\left(9x^{2}+42x+49\right)\leq 0$$

For at finde det modsatte af 9x^{2}+42x+49 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$25x^{2}-40x+16-9x^{2}-42x-49\leq 0$$

Kombiner 25x^{2} og -9x^{2} for at få 16x^{2}.

$$16x^{2}-40x+16-42x-49\leq 0$$

Kombiner -40x og -42x for at få -82x.

$$16x^{2}-82x+16-49\leq 0$$

Subtraher 49 fra 16 for at få -33.

$$16x^{2}-82x-33\leq 0$$

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$16x^{2}-82x-33=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 16 med a, -82 med b, og -33 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{\left(-82\right)^{2}-4\times 16\left(-33\right)}}{2\times 16}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{82±94}{32}$$

Løs ligningen x=\frac{82±94}{32} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{3}{8}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$16\left(x-\frac{11}{2}\right)\left(x+\frac{3}{8}\right)\leq 0$$

For at produktet kan blive ≤0, skal en af værdierne x-\frac{11}{2} og x+\frac{3}{8} være ≥0, og den anden skal være ≤0. Overvej sagen når x-\frac{11}{2}\geq 0 og x+\frac{3}{8}\leq 0.

$$x-\frac{11}{2}\geq 0 x+\frac{3}{8}\leq 0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen når x-\frac{11}{2}\leq 0 og x+\frac{3}{8}\geq 0.

$$x+\frac{3}{8}\geq 0 x-\frac{11}{2}\leq 0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left[-\frac{3}{8},\frac{11}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{3}{8},\frac{11}{2}\end{bmatrix}$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{3}{8},\frac{11}{2}\end{bmatrix}$$