Løs (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Overvej \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Udvid \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

For at finde det modsatte af 4x^{2}-1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombiner 25x^{2} og -4x^{2} for at få 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Tilføj 4 og 1 for at få 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Subtraher 47 fra begge sider.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Subtraher 47 fra 5 for at få -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Subtraher x fra begge sider.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Kombiner -20x og -x for at få -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Divider begge sider med 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=-2 b=1$$

Omskriv x^{2}-x-2 som \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser x i x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Løs x-2=0 og x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Overvej \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Udvid \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

For at finde det modsatte af 4x^{2}-1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombiner 25x^{2} og -4x^{2} for at få 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Tilføj 4 og 1 for at få 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Subtraher 47 fra begge sider.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Subtraher 47 fra 5 for at få -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Subtraher x fra begge sider.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Kombiner -20x og -x for at få -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 21 med a, -21 med b og -42 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Kvadrér -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multiplicer -4 gange 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multiplicer -84 gange -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Adder 441 til 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Tag kvadratroden af 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

Det modsatte af -21 er 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Multiplicer 2 gange 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{21±63}{42} når ± er plus. Adder 21 til 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Divider 84 med 42.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{21±63}{42} når ± er minus. Subtraher 63 fra 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Divider -42 med 42.

$$x=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Overvej \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Udvid \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

For at finde det modsatte af 4x^{2}-1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombiner 25x^{2} og -4x^{2} for at få 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Tilføj 4 og 1 for at få 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Subtraher x fra begge sider.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Kombiner -20x og -x for at få -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Subtraher 5 fra begge sider.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Subtraher 5 fra 47 for at få 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Divider begge sider med 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Division med 21 annullerer multiplikationen med 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Divider -21 med 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Divider 42 med 21.

$$x^{2}-x=2$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Adder 2 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=2 x=-1$$