Løs (4x-1)(4x+1)=(5x-1)^2

$$( 4 x - 1 ) ( 4 x + 1 ) = ( 5 x - 1 ) ^ { 2 }$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}\approx 0,849527923$$

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}\approx 0,261583188$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Overvej \left(4x-1\right)\left(4x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$\left(4x\right)^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Udvid \left(4x\right)^{2}.

$$4^{2}x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Beregn 4 til potensen af 2, og få 16.

$$16x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(5x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-1=25x^{2}-10x+1$$

Subtraher 25x^{2} fra begge sider.

$$16x^{2}-1-25x^{2}=-10x+1$$

Kombiner 16x^{2} og -25x^{2} for at få -9x^{2}.

$$-9x^{2}-1=-10x+1$$

Tilføj 10x på begge sider.

$$-9x^{2}-1+10x=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$-9x^{2}-1+10x-1=0$$

Subtraher 1 fra -1 for at få -2.

$$-9x^{2}-2+10x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-9x^{2}+10x-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -9 med a, 10 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-9\right)\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrér 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-9\right)\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer -4 gange -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+36\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 36 gange -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-72}}{2\left(-9\right)}$$

Adder 100 til -72.

$$x=\frac{-10±\sqrt{28}}{2\left(-9\right)}$$

Tag kvadratroden af 28.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 2 gange -9.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18} når ± er plus. Adder -10 til 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-10}{-18}$$

Divider -10+2\sqrt{7} med -18.

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{7} fra -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-10}{-18}$$

Divider -10-2\sqrt{7} med -18.

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9} x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Overvej \left(4x-1\right)\left(4x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$\left(4x\right)^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Udvid \left(4x\right)^{2}.

$$4^{2}x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Beregn 4 til potensen af 2, og få 16.

$$16x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(5x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-1=25x^{2}-10x+1$$

Subtraher 25x^{2} fra begge sider.

$$16x^{2}-1-25x^{2}=-10x+1$$

Kombiner 16x^{2} og -25x^{2} for at få -9x^{2}.

$$-9x^{2}-1=-10x+1$$

Tilføj 10x på begge sider.

$$-9x^{2}-1+10x=1$$

Tilføj 1 på begge sider.

$$-9x^{2}+10x=1+1$$

Tilføj 1 og 1 for at få 2.

$$-9x^{2}+10x=2$$

Divider begge sider med -9.

$$\frac{-9x^{2}+10x}{-9}=\frac{2}{-9}$$

Division med -9 annullerer multiplikationen med -9.

$$x^{2}+\frac{10}{-9}x=\frac{2}{-9}$$

Divider 10 med -9.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x=\frac{2}{-9}$$

Divider 2 med -9.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x=-\frac{2}{9}$$

Divider -\frac{10}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{9}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{9} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{9} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}=-\frac{2}{9}+\frac{25}{81}$$

Føj -\frac{2}{9} til \frac{25}{81} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}=\frac{7}{81}$$

Faktor x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{9}\right)^{2}=\frac{7}{81}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{81}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{7}}{9} x-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{7}}{9}$$

Adder \frac{5}{9} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9} x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}$$