Løs (4x-1)^2=(x-1)(x+1)

$$( 4 x - 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}\approx 0,266666667+0,249443826i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}\approx 0,266666667-0,249443826i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(4x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Overvej \left(x-1\right)\left(x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

Kombiner 16x^{2} og -x^{2} for at få 15x^{2}.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Tilføj 1 på begge sider.

$$15x^{2}-8x+1+1=0$$

Tilføj 1 og 1 for at få 2.

$$15x^{2}-8x+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 15 med a, -8 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Kvadrér -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplicer -4 gange 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplicer -60 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-120}}{2\times 15}$$

Adder 64 til -120.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-56}}{2\times 15}$$

Tag kvadratroden af -56.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

Multiplicer 2 gange 15.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30} når ± er plus. Adder 8 til 2i\sqrt{14}.

$$x=\frac{8+2\sqrt{14}i}{30}$$

Divider 8+2i\sqrt{14} med 30.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{14} fra 8.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+8}{30}$$

Divider 8-2i\sqrt{14} med 30.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(4x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Overvej \left(x-1\right)\left(x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

Kombiner 16x^{2} og -x^{2} for at få 15x^{2}.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$15x^{2}-8x=-1-1$$

Subtraher 1 fra -1 for at få -2.

$$15x^{2}-8x=-2$$

Divider begge sider med 15.

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Division med 15 annullerer multiplikationen med 15.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Divider -\frac{8}{15}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{4}{15}. Adder derefter kvadratet af -\frac{4}{15} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{4}{15} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{2}{15}+\frac{16}{225}$$

Føj -\frac{2}{15} til \frac{16}{225} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{14}{225}$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{14}{225}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{225}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{14}i}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{14}i}{15}$$

Adder \frac{4}{15} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$