Løs (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Løs for x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Multiplicer begge sider af ligningen med 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplicer 16 og 3 for at få 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Ophæv den største fælles faktor 2 i 8 og 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

For at hæve \frac{x\sqrt{3}}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Multiplicer 48 gange \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Da \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} og \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplicer 48 og 4 for at få 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Udvid \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Udtryk 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} som en enkelt brøk.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Udlign 4 og 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplicer 16 og 3 for at få 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Kombiner x^{2}\times 3 og x^{2} for at få 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Subtraher 624 fra begge sider.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Subtraher 624 fra 192 for at få -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Divider begge sider med 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-108. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

Løsningen er det par, der får summen 12.

$$a=-6 b=18$$

Omskriv x^{2}+12x-108 som \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Udx i den første og 18 i den anden gruppe.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-6 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Løs x-6=0 og x+18=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=6 x=-18$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Multiplicer begge sider af ligningen med 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplicer 16 og 3 for at få 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Ophæv den største fælles faktor 2 i 8 og 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

For at hæve \frac{x\sqrt{3}}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Multiplicer 48 gange \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Da \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} og \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplicer 48 og 4 for at få 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Udvid \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Udtryk 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} som en enkelt brøk.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Udlign 4 og 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplicer 16 og 3 for at få 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Kombiner x^{2}\times 3 og x^{2} for at få 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Subtraher 624 fra begge sider.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Subtraher 624 fra 192 for at få -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 48 med b og -432 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Adder 2304 til 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-48±96}{8} når ± er plus. Adder -48 til 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Divider 48 med 8.

$$x=6$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-48±96}{8} når ± er minus. Subtraher 96 fra -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Divider -144 med 8.

$$x=-18$$

Ligningen er nu løst.

$$x=6 x=-18$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Multiplicer begge sider af ligningen med 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplicer 16 og 3 for at få 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Ophæv den største fælles faktor 2 i 8 og 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

For at hæve \frac{x\sqrt{3}}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Multiplicer 48 gange \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Da \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} og \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplicer 48 og 4 for at få 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Udvid \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Udtryk 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} som en enkelt brøk.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Udlign 4 og 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplicer 16 og 3 for at få 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Kombiner x^{2}\times 3 og x^{2} for at få 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Subtraher 192 fra begge sider.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Subtraher 192 fra 624 for at få 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Divider 48 med 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Divider 432 med 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Divider 12, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 6. Adder derefter kvadratet af 6 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Kvadrér 6.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Adder 108 til 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Faktor x^{2}+12x+36. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Forenkling.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Subtraher 6 fra begge sider af ligningen.

$$x=6 x=-18$$