Løs (3x-5)(x+2)leqx^2

$$( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) \leq x ^ { 2 }$$

Løs for x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-5 med x+2, og kombiner ens led.

$$3x^{2}+x-10\leq x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3x^{2}+x-10-x^{2}\leq 0$$

Kombiner 3x^{2} og -x^{2} for at få 2x^{2}.

$$2x^{2}+x-10\leq 0$$

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 2 med a, 1 med b, og -10 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{-1±9}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{-1±9}{4} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)\leq 0$$

For at produktet kan blive ≤0, skal en af værdierne x-2 og x+\frac{5}{2} være ≥0, og den anden skal være ≤0. Consider the case when x-2\geq 0 and x+\frac{5}{2}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{5}{2}\leq 0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Consider the case when x-2\leq 0 and x+\frac{5}{2}\geq 0.

$$x+\frac{5}{2}\geq 0 x-2\leq 0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left[-\frac{5}{2},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$