Løs (3x-4)^2-(x+3)^2=0

$$( 3 x - 4 ) ^ { 2 } - ( x + 3 ) ^ { 2 } = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

For at finde det modsatte af x^{2}+6x+9 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Kombiner 9x^{2} og -x^{2} for at få 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Kombiner -24x og -6x for at få -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Subtraher 9 fra 16 for at få 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 8x^{2}+ax+bx+7. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-30 ab=8\times 7=56$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Løsningen er det par, der får summen -30.

$$a=-28 b=-2$$

Omskriv 8x^{2}-30x+7 som \left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right)$$

Ud4x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$4x\left(2x-7\right)-\left(2x-7\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-7 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-7\right)\left(4x-1\right)$$

Løs 2x-7=0 og 4x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

For at finde det modsatte af x^{2}+6x+9 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Kombiner 9x^{2} og -x^{2} for at få 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Kombiner -24x og -6x for at få -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Subtraher 9 fra 16 for at få 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 8 med a, -30 med b og 7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Kvadrér -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Multiplicer -4 gange 8.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\times 7}}{2\times 8}$$

Multiplicer -32 gange 7.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 8}$$

Adder 900 til -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Tag kvadratroden af 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 8}$$

Det modsatte af -30 er 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 8}$$

Multiplicer 2 gange 8.

$$x=\frac{30±26}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{30±26}{16} når ± er plus. Adder 30 til 26.

$$x=\frac{56}{16}$$

Reducer fraktionen \frac{56}{16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x=\frac{7}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{30±26}{16} når ± er minus. Subtraher 26 fra 30.

$$x=\frac{4}{16}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

For at finde det modsatte af x^{2}+6x+9 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Kombiner 9x^{2} og -x^{2} for at få 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Kombiner -24x og -6x for at få -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Subtraher 9 fra 16 for at få 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Subtraher 7 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$8x^{2}-30x=-7$$

Divider begge sider med 8.

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=-\frac{7}{8}$$

Division med 8 annullerer multiplikationen med 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=-\frac{7}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-30}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=-\frac{7}{8}$$

Divider -\frac{15}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{15}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{15}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{15}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=-\frac{7}{8}+\frac{225}{64}$$

Føj -\frac{7}{8} til \frac{225}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{169}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{13}{8}$$

Adder \frac{15}{8} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$