Løs (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Løs for x

$$x=8$$

$$x=15$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Beregn 17 til potensen af 2, og få 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Subtraher 289 fra begge sider.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Subtraher 289 fra 529 for at få 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Divider begge sider med 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx+120. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Løsningen er det par, der får summen -23.

$$a=-15 b=-8$$

Omskriv x^{2}-23x+120 som \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Udx i den første og -8 i den anden gruppe.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-15 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Løs x-15=0 og x-8=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=15 x=8$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Beregn 17 til potensen af 2, og få 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Subtraher 289 fra begge sider.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Subtraher 289 fra 529 for at få 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -46 med b og 240 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Kvadrér -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Adder 2116 til -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Det modsatte af -46 er 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{46±14}{4} når ± er plus. Adder 46 til 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Divider 60 med 4.

$$x=15$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{46±14}{4} når ± er minus. Subtraher 14 fra 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Divider 32 med 4.

$$x=8$$

Ligningen er nu løst.

$$x=15 x=8$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Beregn 17 til potensen af 2, og få 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Subtraher 529 fra begge sider.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Subtraher 529 fra 289 for at få -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Divider -46 med 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Divider -240 med 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Divider -23, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{23}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{23}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{23}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Adder -120 til \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adder \frac{23}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=15 x=8$$