Løs (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

For at finde det modsatte af x^{2}+10x+25 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Kombiner -12x og -10x for at få -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Subtraher 25 fra 9 for at få -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Tilføj 23 på begge sider.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Tilføj -16 og 23 for at få 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx+7. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Løsningen er det par, der får summen -22.

$$a=-21 b=-1$$

Omskriv 3x^{2}-22x+7 som \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Ud3x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-7 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Løs x-7=0 og 3x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

For at finde det modsatte af x^{2}+10x+25 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Kombiner -12x og -10x for at få -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Subtraher 25 fra 9 for at få -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Tilføj 23 på begge sider.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Tilføj -16 og 23 for at få 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -22 med b og 7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Kvadrér -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Adder 484 til -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Det modsatte af -22 er 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{22±20}{6} når ± er plus. Adder 22 til 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Divider 42 med 6.

$$x=7$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{22±20}{6} når ± er minus. Subtraher 20 fra 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

For at finde det modsatte af x^{2}+10x+25 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Kombiner -12x og -10x for at få -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Subtraher 25 fra 9 for at få -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Tilføj 16 på begge sider.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Tilføj -23 og 16 for at få -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Divider -\frac{22}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Føj -\frac{7}{3} til \frac{121}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Adder \frac{11}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$