Løs (2x+7)^2=9(x+2)^2

$$( 2 x + 7 ) ^ { 2 } = 9 ( x + 2 ) ^ { 2 }$$

Løs for x

$$x = -\frac{13}{5} = -2\frac{3}{5} = -2,6$$

$$x=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+7\right)^{2}.

$$4x^{2}+28x+49=9\left(x+2\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+28x+49=9\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 9 med x^{2}+4x+4.

$$4x^{2}+28x+49=9x^{2}+36x+36$$

Subtraher 9x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+28x+49-9x^{2}=36x+36$$

Kombiner 4x^{2} og -9x^{2} for at få -5x^{2}.

$$-5x^{2}+28x+49=36x+36$$

Subtraher 36x fra begge sider.

$$-5x^{2}+28x+49-36x=36$$

Kombiner 28x og -36x for at få -8x.

$$-5x^{2}-8x+49=36$$

Subtraher 36 fra begge sider.

$$-5x^{2}-8x+49-36=0$$

Subtraher 36 fra 49 for at få 13.

$$-5x^{2}-8x+13=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -5x^{2}+ax+bx+13. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-8 ab=-5\times 13=-65$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -65.

$$1,-65 5,-13$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

Løsningen er det par, der får summen -8.

$$a=5 b=-13$$

Omskriv -5x^{2}-8x+13 som \left(-5x^{2}+5x\right)+\left(-13x+13\right).

$$\left(-5x^{2}+5x\right)+\left(-13x+13\right)$$

Ud5x i den første og 13 i den anden gruppe.

$$5x\left(-x+1\right)+13\left(-x+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+1\right)\left(5x+13\right)$$

Løs -x+1=0 og 5x+13=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-\frac{13}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+7\right)^{2}.

$$4x^{2}+28x+49=9\left(x+2\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+28x+49=9\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 9 med x^{2}+4x+4.

$$4x^{2}+28x+49=9x^{2}+36x+36$$

Subtraher 9x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+28x+49-9x^{2}=36x+36$$

Kombiner 4x^{2} og -9x^{2} for at få -5x^{2}.

$$-5x^{2}+28x+49=36x+36$$

Subtraher 36x fra begge sider.

$$-5x^{2}+28x+49-36x=36$$

Kombiner 28x og -36x for at få -8x.

$$-5x^{2}-8x+49=36$$

Subtraher 36 fra begge sider.

$$-5x^{2}-8x+49-36=0$$

Subtraher 36 fra 49 for at få 13.

$$-5x^{2}-8x+13=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -5 med a, -8 med b og 13 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-5\right)\times 13}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrér -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-5\right)\times 13}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer -4 gange -5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+20\times 13}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 20 gange 13.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+260}}{2\left(-5\right)}$$

Adder 64 til 260.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{324}}{2\left(-5\right)}$$

Tag kvadratroden af 324.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±18}{2\left(-5\right)}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8±18}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 2 gange -5.

$$x=\frac{8±18}{-10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±18}{-10} når ± er plus. Adder 8 til 18.

$$x=\frac{26}{-10}$$

Reducer fraktionen \frac{26}{-10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{13}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±18}{-10} når ± er minus. Subtraher 18 fra 8.

$$x=-\frac{10}{-10}$$

Divider -10 med -10.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{13}{5} x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+7\right)^{2}.

$$4x^{2}+28x+49=9\left(x+2\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+28x+49=9\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 9 med x^{2}+4x+4.

$$4x^{2}+28x+49=9x^{2}+36x+36$$

Subtraher 9x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+28x+49-9x^{2}=36x+36$$

Kombiner 4x^{2} og -9x^{2} for at få -5x^{2}.

$$-5x^{2}+28x+49=36x+36$$

Subtraher 36x fra begge sider.

$$-5x^{2}+28x+49-36x=36$$

Kombiner 28x og -36x for at få -8x.

$$-5x^{2}-8x+49=36$$

Subtraher 49 fra begge sider.

$$-5x^{2}-8x=36-49$$

Subtraher 49 fra 36 for at få -13.

$$-5x^{2}-8x=-13$$

Divider begge sider med -5.

$$\frac{-5x^{2}-8x}{-5}=-\frac{13}{-5}$$

Division med -5 annullerer multiplikationen med -5.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-5}\right)x=-\frac{13}{-5}$$

Divider -8 med -5.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=-\frac{13}{-5}$$

Divider -13 med -5.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

Divider \frac{8}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{4}{5}. Adder derefter kvadratet af \frac{4}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{4}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

Føj \frac{13}{5} til \frac{16}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

Subtraher \frac{4}{5} fra begge sider af ligningen.

$$x=1 x=-\frac{13}{5}$$