Løs (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Løs for x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+3 med x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-4 med x+40, og kombiner ens led.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombiner 3x^{2} og x^{2} for at få 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombiner -32x og 36x for at få 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Subtraher 160 fra -48 for at få -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-8 med x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Subtraher 2x^{3} fra begge sider.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Kombiner 2x^{3} og -2x^{3} for at få 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Tilføj 32x på begge sider.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Kombiner 4x og 32x for at få 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Tilføj 8x^{2} på begge sider.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Kombiner 4x^{2} og 8x^{2} for at få 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Subtraher 128 fra begge sider.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Subtraher 128 fra -208 for at få -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Divider begge sider med 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-28. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Løsningen er det par, der får summen 3.

$$a=-4 b=7$$

Omskriv x^{2}+3x-28 som \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Udx i den første og 7 i den anden gruppe.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Løs x-4=0 og x+7=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=4 x=-7$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+3 med x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-4 med x+40, og kombiner ens led.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombiner 3x^{2} og x^{2} for at få 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombiner -32x og 36x for at få 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Subtraher 160 fra -48 for at få -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-8 med x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Subtraher 2x^{3} fra begge sider.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Kombiner 2x^{3} og -2x^{3} for at få 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Tilføj 32x på begge sider.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Kombiner 4x og 32x for at få 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Tilføj 8x^{2} på begge sider.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Kombiner 4x^{2} og 8x^{2} for at få 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Subtraher 128 fra begge sider.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Subtraher 128 fra -208 for at få -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 12 med a, 36 med b og -336 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrér 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicer -4 gange 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicer -48 gange -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Adder 1296 til 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Tag kvadratroden af 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Multiplicer 2 gange 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-36±132}{24} når ± er plus. Adder -36 til 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Divider 96 med 24.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-36±132}{24} når ± er minus. Subtraher 132 fra -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Divider -168 med 24.

$$x=-7$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=-7$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+3 med x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-4 med x+40, og kombiner ens led.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombiner 3x^{2} og x^{2} for at få 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombiner -32x og 36x for at få 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Subtraher 160 fra -48 for at få -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-8 med x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Subtraher 2x^{3} fra begge sider.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Kombiner 2x^{3} og -2x^{3} for at få 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Tilføj 32x på begge sider.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Kombiner 4x og 32x for at få 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Tilføj 8x^{2} på begge sider.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Kombiner 4x^{2} og 8x^{2} for at få 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Tilføj 208 på begge sider.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Tilføj 128 og 208 for at få 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$12x^{2}+36x=336$$

Divider begge sider med 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Division med 12 annullerer multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Divider 36 med 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Divider 336 med 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Adder 28 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=4 x=-7$$