Løs (2x+1)^2=1+(x-1)(x+1)

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 1 + ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Overvej \left(x-1\right)\left(x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Subtraher 1 fra 1 for at få 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=1 b=3$$

Omskriv 3x^{2}+4x+1 som \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Udfaktoriser x i 3x^{2}+x.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

Løs 3x+1=0 og x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Overvej \left(x-1\right)\left(x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Subtraher 1 fra 1 for at få 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 4 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Adder 16 til -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±2}{6} når ± er plus. Adder -4 til 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±2}{6} når ± er minus. Subtraher 2 fra -4.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Divider -6 med 6.

$$x=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Overvej \left(x-1\right)\left(x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Subtraher 1 fra 1 for at få 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divider \frac{4}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{2}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{2}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{2}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Føj -\frac{1}{3} til \frac{4}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Subtraher \frac{2}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$