Løs (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

Løs for x

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Tilføj 10x på begge sider.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Kombiner 4x og 10x for at få 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Subtraher 25 fra begge sider.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Subtraher 25 fra 1 for at få -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx-24. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Løsningen er det par, der får summen 14.

$$a=-4 b=18$$

Omskriv 3x^{2}+14x-24 som \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

Udx i den første og 6 i den anden gruppe.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

Løs 3x-4=0 og x+6=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Tilføj 10x på begge sider.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Kombiner 4x og 10x for at få 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Subtraher 25 fra begge sider.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Subtraher 25 fra 1 for at få -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 14 med b og -24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

Adder 196 til 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-14±22}{6} når ± er plus. Adder -14 til 22.

$$x=\frac{8}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{8}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-14±22}{6} når ± er minus. Subtraher 22 fra -14.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Divider -36 med 6.

$$x=-6$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Tilføj 10x på begge sider.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Kombiner 4x og 10x for at få 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

Subtraher 1 fra 25 for at få 24.

$$3x^{2}+14x=24$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

Divider 24 med 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

Divider \frac{14}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

Adder 8 til \frac{49}{9}.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

Subtraher \frac{7}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$