Løs (2t-3)^2-8(2t-3)+7=0

$$( 2 t - 3 ) ^ { 2 } - 8 ( 2 t - 3 ) + 7 = 0$$

Løs for t

$$t=2$$

$$t=5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2t-3\right)^{2}.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -8 med 2t-3.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Kombiner -12t og -16t for at få -28t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Tilføj 9 og 24 for at få 33.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Tilføj 33 og 7 for at få 40.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Divider begge sider med 4.

$$t^{2}-7t+10=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som t^{2}+at+bt+10. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-7 ab=1\times 10=10$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Løsningen er det par, der får summen -7.

$$a=-5 b=-2$$

Omskriv t^{2}-7t+10 som \left(t^{2}-5t\right)+\left(-2t+10\right).

$$\left(t^{2}-5t\right)+\left(-2t+10\right)$$

Udt i den første og -2 i den anden gruppe.

$$t\left(t-5\right)-2\left(t-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet t-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(t-5\right)\left(t-2\right)$$

Løs t-5=0 og t-2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$t=5 t=2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2t-3\right)^{2}.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -8 med 2t-3.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Kombiner -12t og -16t for at få -28t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Tilføj 9 og 24 for at få 33.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Tilføj 33 og 7 for at få 40.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -28 med b og 40 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Kvadrér -28.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 40.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Adder 784 til -640.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 144.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±12}{2\times 4}$$

Det modsatte af -28 er 28.

$$t=\frac{28±12}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$t=\frac{28±12}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{28±12}{8} når ± er plus. Adder 28 til 12.

$$t=\frac{40}{8}$$

Divider 40 med 8.

$$t=5$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{28±12}{8} når ± er minus. Subtraher 12 fra 28.

$$t=\frac{16}{8}$$

Divider 16 med 8.

$$t=2$$

Ligningen er nu løst.

$$t=5 t=2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2t-3\right)^{2}.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -8 med 2t-3.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Kombiner -12t og -16t for at få -28t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Tilføj 9 og 24 for at få 33.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Tilføj 33 og 7 for at få 40.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Subtraher 40 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$4t^{2}-28t=-40$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4t^{2}-28t}{4}=-\frac{40}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$t^{2}+\left(-\frac{28}{4}\right)t=-\frac{40}{4}$$

Divider -28 med 4.

$$t^{2}-7t=-\frac{40}{4}$$

Divider -40 med 4.

$$t^{2}-7t=-10$$

Divider -7, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}-7t+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$t^{2}-7t+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Adder -10 til \frac{49}{4}.

$$t^{2}-7t+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor t^{2}-7t+\frac{49}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkling.

$$t-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} t-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adder \frac{7}{2} på begge sider af ligningen.

$$t=5 t=2$$