Løs (2)x^2-6x=9

$$( 2 ) x ^ { 2 } - 6 x = 9$$

Løs for x

$$x = \frac{3 \sqrt{3} + 3}{2} \approx 4,098076211$$

$$x=\frac{3-3\sqrt{3}}{2}\approx -1,098076211$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-6x=9$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-6x-9=9-9$$

Hvis 9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-6x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -6 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+72}}{2\times 2}$$

Adder 36 til 72.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{108}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 108.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±6\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Det modsatte af -6 er 6.

$$x=\frac{6±6\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{6±6\sqrt{3}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±6\sqrt{3}}{4} når ± er plus. Adder 6 til 6\sqrt{3}.

$$x=\frac{6\sqrt{3}+6}{4}$$

Divider 6+6\sqrt{3} med 4.

$$x=\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±6\sqrt{3}}{4} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{3} fra 6.

$$x=\frac{6-6\sqrt{3}}{4}$$

Divider 6-6\sqrt{3} med 4.

$$x=\frac{3-3\sqrt{3}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3\sqrt{3}+3}{2} x=\frac{3-3\sqrt{3}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-6x=9$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-6x}{2}=\frac{9}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{2}\right)x=\frac{9}{2}$$

Divider -6 med 2.

$$x^{2}-3x=\frac{9}{2}$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{9}{2}+\frac{9}{4}$$

Føj \frac{9}{2} til \frac{9}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{3}+3}{2} x=\frac{3-3\sqrt{3}}{2}$$