Løs (2+sqrt{3})^2-frac{sqrt{3}+sqrt{2}}{sqrt{3}-sqrt{2}}

$$( 2 + \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } - \frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } }$$

Evaluer

$$4\sqrt{3}+2-2\sqrt{6}\approx 4,029223745$$

Løsningsvejledning

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$

Tilføj 4 og 3 for at få 7.

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$

Rationaliser \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med \sqrt{3}+\sqrt{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}$$

Overvej \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Kvadrér \sqrt{3}. Kvadrér \sqrt{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{3-2}$$

Subtraher 2 fra 3 for at få 1.

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{1}$$

Hvad som helst divideret med én er lig med sig selv.

$$7+4\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$$

Multiplicer \sqrt{3}+\sqrt{2} og \sqrt{3}+\sqrt{2} for at få \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(3+2\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Hvis du vil multiplicere \sqrt{3} og \sqrt{2}, skal du multiplicere tallene under kvadratroden.

$$7+4\sqrt{3}-\left(3+2\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$7+4\sqrt{3}-\left(3+2\sqrt{6}+2\right)$$

Tilføj 3 og 2 for at få 5.

$$7+4\sqrt{3}-\left(5+2\sqrt{6}\right)$$

For at finde det modsatte af 5+2\sqrt{6} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$7+4\sqrt{3}-5-2\sqrt{6}$$

Subtraher 5 fra 7 for at få 2.

$$2+4\sqrt{3}-2\sqrt{6}$$