Løs (10-x)(8+2x)=90

$$( 10 - x ) ( 8 + 2 x ) = 90$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 10-x med 8+2x, og kombiner ens led.

$$80+12x-2x^{2}=90$$

Subtraher 90 fra begge sider.

$$80+12x-2x^{2}-90=0$$

Subtraher 90 fra 80 for at få -10.

$$-10+12x-2x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+12x-10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 12 med b og -10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-2\right)\left(-10\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-2\right)\left(-10\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+8\left(-10\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange -10.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-80}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 144 til -80.

$$x=\frac{-12±\sqrt{64}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 64.

$$x=\frac{-12±8}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-12±8}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±8}{-4} når ± er plus. Adder -12 til 8.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Divider -4 med -4.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±8}{-4} når ± er minus. Subtraher 8 fra -12.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Divider -20 med -4.

$$x=5$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 10-x med 8+2x, og kombiner ens led.

$$80+12x-2x^{2}=90$$

Subtraher 80 fra begge sider.

$$12x-2x^{2}=90-80$$

Subtraher 80 fra 90 for at få 10.

$$12x-2x^{2}=10$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+12x=10$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+12x}{-2}=\frac{10}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{12}{-2}x=\frac{10}{-2}$$

Divider 12 med -2.

$$x^{2}-6x=\frac{10}{-2}$$

Divider 10 med -2.

$$x^{2}-6x=-5$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-5+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$x^{2}-6x+9=-5+9$$

Adder -5 til 9.

$$x^{2}-6x+9=4$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=4$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkling.

$$x-3=2 x-3=-2$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$x=5 x=1$$