Løs (1+4x)^2=81

$$( 1 + 4 x ) ^ { 2 } = 81$$

Løs for x

$$x=2$$

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(1+4x\right)^{2}.

$$1+8x+16x^{2}=81$$

Subtraher 81 fra begge sider.

$$1+8x+16x^{2}-81=0$$

Subtraher 81 fra 1 for at få -80.

$$-80+8x+16x^{2}=0$$

Divider begge sider med 8.

$$-10+x+2x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-10. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Løsningen er det par, der får summen 1.

$$a=-4 b=5$$

Omskriv 2x^{2}+x-10 som \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Ud2x i den første og 5 i den anden gruppe.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Løs x-2=0 og 2x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(1+4x\right)^{2}.

$$1+8x+16x^{2}=81$$

Subtraher 81 fra begge sider.

$$1+8x+16x^{2}-81=0$$

Subtraher 81 fra 1 for at få -80.

$$-80+8x+16x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$16x^{2}+8x-80=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 16 med a, 8 med b og -80 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-80\right)}}{2\times 16}$$

Kvadrér 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-80\right)}}{2\times 16}$$

Multiplicer -4 gange 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-80\right)}}{2\times 16}$$

Multiplicer -64 gange -80.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+5120}}{2\times 16}$$

Adder 64 til 5120.

$$x=\frac{-8±\sqrt{5184}}{2\times 16}$$

Tag kvadratroden af 5184.

$$x=\frac{-8±72}{2\times 16}$$

Multiplicer 2 gange 16.

$$x=\frac{-8±72}{32}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±72}{32} når ± er plus. Adder -8 til 72.

$$x=\frac{64}{32}$$

Divider 64 med 32.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±72}{32} når ± er minus. Subtraher 72 fra -8.

$$x=-\frac{80}{32}$$

Reducer fraktionen \frac{-80}{32} til de laveste led ved at udtrække og annullere 16.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(1+4x\right)^{2}.

$$1+8x+16x^{2}=81$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$8x+16x^{2}=81-1$$

Subtraher 1 fra 81 for at få 80.

$$8x+16x^{2}=80$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$16x^{2}+8x=80$$

Divider begge sider med 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{80}{16}$$

Division med 16 annullerer multiplikationen med 16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{80}{16}$$

Reducer fraktionen \frac{8}{16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{80}{16}$$

Divider 80 med 16.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Divider \frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Adder 5 til \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Subtraher \frac{1}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$