Løs (x^2-5x+3)=8

$$( { x }^{ 2 } -5x+3)=8$$

Løs for x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 5}{2} \approx 5,854101966$$

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}\approx -0,854101966$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Subtraher 8 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-5x+3-8=8-8$$

Hvis 8 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-5x+3-8=0$$

Subtraher 8 fra 3.

$$x^{2}-5x-5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -5 med b og -5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-5\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+20}}{2}$$

Adder 25 til 20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Tag kvadratroden af 45.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2} når ± er plus. Adder 5 til 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2} når ± er minus. Subtraher 3\sqrt{5} fra 5.

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-5x+3-3=8-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-5x=8-3$$

Subtraher 3 fra 8.

$$x^{2}-5x=5$$

Divider -5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=5+\frac{25}{4}$$

Adder 5 til \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{45}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Adder \frac{5}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$