Løs (sqrt{6}-sqrt{2})^2-frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{sqrt{6}+sqrt{2}}

$$( \sqrt { 6 } - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { \sqrt { 6 } - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } }$$

Evaluer

$$6-3\sqrt{3}\approx 0,803847577$$

Løsningsvejledning

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{6}\right)^{2}-2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$$

Kvadratet på \sqrt{6} er 6.

$$6-2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$$

Faktoriser 6=2\times 3. Omskriv kvadratroden af produktet \sqrt{2\times 3} som produktet af kvadratrødderne \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$6-2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$$

Multiplicer \sqrt{2} og \sqrt{2} for at få 2.

$$6-2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$$

Multiplicer -2 og 2 for at få -4.

$$6-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$6-4\sqrt{3}+2-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$$

Tilføj 6 og 2 for at få 8.

$$8-4\sqrt{3}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$$

Rationaliser \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med \sqrt{6}-\sqrt{2}.

$$8-4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}$$

Overvej \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$8-4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Kvadrér \sqrt{6}. Kvadrér \sqrt{2}.

$$8-4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{6-2}$$

Subtraher 2 fra 6 for at få 4.

$$8-4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{4}$$

Multiplicer \sqrt{6}-\sqrt{2} og \sqrt{6}-\sqrt{2} for at få \left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$8-4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^{2}}{4}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$8-4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4}$$

Kvadratet på \sqrt{6} er 6.

$$8-4\sqrt{3}-\frac{6-2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4}$$

Faktoriser 6=2\times 3. Omskriv kvadratroden af produktet \sqrt{2\times 3} som produktet af kvadratrødderne \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$8-4\sqrt{3}-\frac{6-2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4}$$

Multiplicer \sqrt{2} og \sqrt{2} for at få 2.

$$8-4\sqrt{3}-\frac{6-2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4}$$

Multiplicer -2 og 2 for at få -4.

$$8-4\sqrt{3}-\frac{6-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$8-4\sqrt{3}-\frac{6-4\sqrt{3}+2}{4}$$

Tilføj 6 og 2 for at få 8.

$$8-4\sqrt{3}-\frac{8-4\sqrt{3}}{4}$$

Divider hvert led på 8-4\sqrt{3} med 4 for at få 2-\sqrt{3}.

$$8-4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)$$

For at finde det modsatte af 2-\sqrt{3} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$8-4\sqrt{3}-2+\sqrt{3}$$

Subtraher 2 fra 8 for at få 6.

$$6-4\sqrt{3}+\sqrt{3}$$

Kombiner -4\sqrt{3} og \sqrt{3} for at få -3\sqrt{3}.

$$6-3\sqrt{3}$$

Faktoriser

$$3 {(2 - \sqrt{3})} = 0,803847577$$