Løs (sqrt{5}-sqrt{3})(sqrt{5}+sqrt{3})-(sqrt{6}+sqrt{2})^2

$$( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) - ( \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$$

Evaluer

$$-4\sqrt{3}-6\approx -12,92820323$$

Løsningsvejledning

Overvej \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Kvadratet på \sqrt{5} er 5.

$$5-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$5-3-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Subtraher 3 fra 5 for at få 2.

$$2-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$2-\left(\left(\sqrt{6}\right)^{2}+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Kvadratet på \sqrt{6} er 6.

$$2-\left(6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Faktoriser 6=2\times 3. Omskriv kvadratroden af produktet \sqrt{2\times 3} som produktet af kvadratrødderne \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$2-\left(6+2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Multiplicer \sqrt{2} og \sqrt{2} for at få 2.

$$2-\left(6+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Multiplicer 2 og 2 for at få 4.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+2\right)$$

Tilføj 6 og 2 for at få 8.

$$2-\left(8+4\sqrt{3}\right)$$

For at finde det modsatte af 8+4\sqrt{3} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$2-8-4\sqrt{3}$$

Subtraher 8 fra 2 for at få -6.

$$-6-4\sqrt{3}$$