Løs (sqrt{2}+1)^3-(sqrt{2}-1)^3

$$( \sqrt { 2 } + 1 ) ^ { 3 } - ( \sqrt { 2 } - 1 ) ^ { 3 }$$

Evaluer

$$14$$

Løsningsvejledning

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} til at udvide \left(\sqrt{2}+1\right)^{3}.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{3}+3\left(\sqrt{2}\right)^{2}+3\sqrt{2}+1-\left(\sqrt{2}-1\right)^{3}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{3}+3\times 2+3\sqrt{2}+1-\left(\sqrt{2}-1\right)^{3}$$

Multiplicer 3 og 2 for at få 6.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{3}+6+3\sqrt{2}+1-\left(\sqrt{2}-1\right)^{3}$$

Tilføj 6 og 1 for at få 7.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{3}+7+3\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}-1\right)^{3}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} til at udvide \left(\sqrt{2}-1\right)^{3}.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{3}+7+3\sqrt{2}-\left(\left(\sqrt{2}\right)^{3}-3\left(\sqrt{2}\right)^{2}+3\sqrt{2}-1\right)$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{3}+7+3\sqrt{2}-\left(\left(\sqrt{2}\right)^{3}-3\times 2+3\sqrt{2}-1\right)$$

Multiplicer -3 og 2 for at få -6.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{3}+7+3\sqrt{2}-\left(\left(\sqrt{2}\right)^{3}-6+3\sqrt{2}-1\right)$$

Subtraher 1 fra -6 for at få -7.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{3}+7+3\sqrt{2}-\left(\left(\sqrt{2}\right)^{3}-7+3\sqrt{2}\right)$$

For at finde det modsatte af \left(\sqrt{2}\right)^{3}-7+3\sqrt{2} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{3}+7+3\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{3}+7-3\sqrt{2}$$

Kombiner \left(\sqrt{2}\right)^{3} og -\left(\sqrt{2}\right)^{3} for at få 0.

$$7+3\sqrt{2}+7-3\sqrt{2}$$

Tilføj 7 og 7 for at få 14.

$$14+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

Kombiner 3\sqrt{2} og -3\sqrt{2} for at få 0.

$$14$$

Faktoriser

$$2\times 7$$