Løs (6/25+x)^2x=32

$$( \frac { 6 } { 25 + x } ) ^ { 2 } x = 32$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}\approx -24,4375-5,273385416i$$

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}\approx -24,4375+5,273385416i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at hæve \frac{6}{25+x} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Udtryk \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x som en enkelt brøk.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Beregn 6 til potensen af 2, og få 36.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(25+x\right)^{2}.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

Subtraher 32 fra begge sider.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}-32=0$$

Faktoriser 625+50x+x^{2}.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-32=0$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Multiplicer 32 gange \frac{\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-\frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Eftersom \frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}} og \frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}} har den samme fællesnævner, kan du trække dem fra dem ved at trække deres tællere fra.

$$\frac{36x-32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Lav multiplikationerne i 36x-32\left(x+25\right)^{2}.

$$\frac{36x-32x^{2}-1600x-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Kombiner ens led i 36x-32x^{2}-1600x-20000.

$$\frac{-1564x-32x^{2}-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Variablen x må ikke være lig med -25, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med \left(x+25\right)^{2}.

$$-1564x-32x^{2}-20000=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-32x^{2}-1564x-20000=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -32 med a, -1564 med b og -20000 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{\left(-1564\right)^{2}-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Kvadrér -1564.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Multiplicer -4 gange -32.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096+128\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Multiplicer 128 gange -20000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-2560000}}{2\left(-32\right)}$$

Adder 2446096 til -2560000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{-113904}}{2\left(-32\right)}$$

Tag kvadratroden af -113904.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

Det modsatte af -1564 er 1564.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

Multiplicer 2 gange -32.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} når ± er plus. Adder 1564 til 12i\sqrt{791}.

$$x=\frac{1564+12\sqrt{791}i}{-64}$$

Divider 1564+12i\sqrt{791} med -64.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} når ± er minus. Subtraher 12i\sqrt{791} fra 1564.

$$x=\frac{-12\sqrt{791}i+1564}{-64}$$

Divider 1564-12i\sqrt{791} med -64.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16} x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

For at hæve \frac{6}{25+x} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Udtryk \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x som en enkelt brøk.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Beregn 6 til potensen af 2, og få 36.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(25+x\right)^{2}.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

Variablen x må ikke være lig med -25, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med \left(x+25\right)^{2}.

$$36x=32\left(x+25\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+25\right)^{2}.

$$36x=32\left(x^{2}+50x+625\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 32 med x^{2}+50x+625.

$$36x=32x^{2}+1600x+20000$$

Subtraher 32x^{2} fra begge sider.

$$36x-32x^{2}=1600x+20000$$

Subtraher 1600x fra begge sider.

$$36x-32x^{2}-1600x=20000$$

Kombiner 36x og -1600x for at få -1564x.

$$-1564x-32x^{2}=20000$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-32x^{2}-1564x=20000$$

Divider begge sider med -32.

$$\frac{-32x^{2}-1564x}{-32}=\frac{20000}{-32}$$

Division med -32 annullerer multiplikationen med -32.

$$x^{2}+\left(-\frac{1564}{-32}\right)x=\frac{20000}{-32}$$

Reducer fraktionen \frac{-1564}{-32} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=\frac{20000}{-32}$$

Divider 20000 med -32.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=-625$$

Divider \frac{391}{8}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{391}{16}. Adder derefter kvadratet af \frac{391}{16} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}=-625+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{391}{16} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-625+\frac{152881}{256}$$

Adder -625 til \frac{152881}{256}.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-\frac{7119}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}=-\frac{7119}{256}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7119}{256}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{391}{16}=\frac{3\sqrt{791}i}{16} x+\frac{391}{16}=-\frac{3\sqrt{791}i}{16}$$

Subtraher \frac{391}{16} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$