Løs (frac{1+sqrt{3}i}{2})^2

$$( \frac { 1 + \sqrt { 3 } i } { 2 } ) ^ { 2 }$$

Evaluer

$$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Løsningsvejledning

For at hæve \frac{1+i\sqrt{3}}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$\frac{\left(1+i\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(1+i\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{1+2i\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$\frac{1+2i\sqrt{3}-3}{2^{2}}$$

Subtraher 3 fra 1 for at få -2.

$$\frac{-2+2i\sqrt{3}}{2^{2}}$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$\frac{-2+2i\sqrt{3}}{4}$$

Udvid

$$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Løsningsvejledning

For at hæve \frac{1+i\sqrt{3}}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$\frac{\left(1+i\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(1+i\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{1+2i\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$\frac{1+2i\sqrt{3}-3}{2^{2}}$$

Subtraher 3 fra 1 for at få -2.

$$\frac{-2+2i\sqrt{3}}{2^{2}}$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$\frac{-2+2i\sqrt{3}}{4}$$