Løs (frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1})^2

$$( \frac { \sqrt { 3 } + 1 } { \sqrt { 3 } - 1 } ) ^ { 2 }$$

Evaluer

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} ved at multiplicere tælleren og nævneren med \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Overvej \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Kvadrér \sqrt{3}. Kvadrér 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Subtraher 1 fra 3 for at få 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Multiplicer \sqrt{3}+1 og \sqrt{3}+1 for at få \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Tilføj 3 og 1 for at få 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Divider hvert led på 4+2\sqrt{3} med 2 for at få 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Tilføj 4 og 3 for at få 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Udvid

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} ved at multiplicere tælleren og nævneren med \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Overvej \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Kvadrér \sqrt{3}. Kvadrér 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Subtraher 1 fra 3 for at få 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Multiplicer \sqrt{3}+1 og \sqrt{3}+1 for at få \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Tilføj 3 og 1 for at få 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Divider hvert led på 4+2\sqrt{3} med 2 for at få 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Tilføj 4 og 3 for at få 7.

$$7+4\sqrt{3}$$