Løs (frac{sqrt{2}}{sqrt{2}-18})^2

$$( \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } - 18 } ) ^ { 2 }$$

Evaluer

$$\frac{18\sqrt{2}+163}{25921}\approx 0,007270393$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-18} ved at multiplicere tælleren og nævneren med \sqrt{2}+18.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{\left(\sqrt{2}-18\right)\left(\sqrt{2}+18\right)}\right)^{2}$$

Overvej \left(\sqrt{2}-18\right)\left(\sqrt{2}+18\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-18^{2}}\right)^{2}$$

Kvadrér \sqrt{2}. Kvadrér 18.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{2-324}\right)^{2}$$

Subtraher 324 fra 2 for at få -322.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{-322}\right)^{2}$$

For at hæve \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{-322} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$\frac{\left(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)\right)^{2}}{\left(-322\right)^{2}}$$

Udvid \left(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{2}+18\right)^{2}}{\left(-322\right)^{2}}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+18\right)^{2}}{\left(-322\right)^{2}}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{2}+18\right)^{2}.

$$\frac{2\left(\left(\sqrt{2}\right)^{2}+36\sqrt{2}+324\right)}{\left(-322\right)^{2}}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$\frac{2\left(2+36\sqrt{2}+324\right)}{\left(-322\right)^{2}}$$

Tilføj 2 og 324 for at få 326.

$$\frac{2\left(326+36\sqrt{2}\right)}{\left(-322\right)^{2}}$$

Beregn -322 til potensen af 2, og få 103684.

$$\frac{2\left(326+36\sqrt{2}\right)}{103684}$$

Divider 2\left(326+36\sqrt{2}\right) med 103684 for at få \frac{1}{51842}\left(326+36\sqrt{2}\right).

$$\frac{1}{51842}\left(326+36\sqrt{2}\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere \frac{1}{51842} med 326+36\sqrt{2}.

$$\frac{163}{25921}+\frac{18}{25921}\sqrt{2}$$

Udvid

$$\frac{18 \sqrt{2} + 163}{25921} = 0,007270392505023561$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-18} ved at multiplicere tælleren og nævneren med \sqrt{2}+18.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{\left(\sqrt{2}-18\right)\left(\sqrt{2}+18\right)}\right)^{2}$$

Overvej \left(\sqrt{2}-18\right)\left(\sqrt{2}+18\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-18^{2}}\right)^{2}$$

Kvadrér \sqrt{2}. Kvadrér 18.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{2-324}\right)^{2}$$

Subtraher 324 fra 2 for at få -322.

$$\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{-322}\right)^{2}$$

For at hæve \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)}{-322} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$\frac{\left(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)\right)^{2}}{\left(-322\right)^{2}}$$

Udvid \left(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+18\right)\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{2}+18\right)^{2}}{\left(-322\right)^{2}}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+18\right)^{2}}{\left(-322\right)^{2}}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{2}+18\right)^{2}.

$$\frac{2\left(\left(\sqrt{2}\right)^{2}+36\sqrt{2}+324\right)}{\left(-322\right)^{2}}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$\frac{2\left(2+36\sqrt{2}+324\right)}{\left(-322\right)^{2}}$$

Tilføj 2 og 324 for at få 326.

$$\frac{2\left(326+36\sqrt{2}\right)}{\left(-322\right)^{2}}$$

Beregn -322 til potensen af 2, og få 103684.

$$\frac{2\left(326+36\sqrt{2}\right)}{103684}$$

Divider 2\left(326+36\sqrt{2}\right) med 103684 for at få \frac{1}{51842}\left(326+36\sqrt{2}\right).

$$\frac{1}{51842}\left(326+36\sqrt{2}\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere \frac{1}{51842} med 326+36\sqrt{2}.

$$\frac{163}{25921}+\frac{18}{25921}\sqrt{2}$$