Løs z^2-25*10^-12z+16*10^-12=0

$${ z }^{ 2 } -25 \times { 10 }^{ -12 } z+16 \times { 10 }^{ -12 } = 0$$

Løs for z

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000}\approx 1,25 \cdot 10^{-11}+0,000004i$$

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}\approx 1,25 \cdot 10^{-11}-0,000004i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -\frac{1}{40000000000} med b og \frac{1}{62500000000} med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{40000000000}\right)^{2}-4\times \frac{1}{62500000000}}}{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{40000000000} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\frac{1}{1600000000000000000000}-4\times \frac{1}{62500000000}}}{2}$$

Multiplicer -4 gange \frac{1}{62500000000}.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\frac{1}{1600000000000000000000}-\frac{1}{15625000000}}}{2}$$

Føj \frac{1}{1600000000000000000000} til -\frac{1}{15625000000} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{-\frac{102399999999}{1600000000000000000000}}}{2}$$

Tag kvadratroden af -\frac{102399999999}{1600000000000000000000}.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}$$

Det modsatte af -\frac{1}{40000000000} er \frac{1}{40000000000}.

$$z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2} når ± er plus. Adder \frac{1}{40000000000} til \frac{i\sqrt{102399999999}}{40000000000}.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{2\times 40000000000}$$

Divider \frac{1+i\sqrt{102399999999}}{40000000000} med 2.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000}$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2} når ± er minus. Subtraher \frac{i\sqrt{102399999999}}{40000000000} fra \frac{1}{40000000000}.

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{2\times 40000000000}$$

Divider \frac{1-i\sqrt{102399999999}}{40000000000} med 2.

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$

Ligningen er nu løst.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}=0$$

Subtraher \frac{1}{62500000000} fra begge sider af ligningen.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}-\frac{1}{62500000000}=-\frac{1}{62500000000}$$

Hvis \frac{1}{62500000000} subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z=-\frac{1}{62500000000}$$

Divider -\frac{1}{40000000000}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{80000000000}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{80000000000} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\left(-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}=-\frac{1}{62500000000}+\left(-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{80000000000} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}=-\frac{1}{62500000000}+\frac{1}{6400000000000000000000}$$

Føj -\frac{1}{62500000000} til \frac{1}{6400000000000000000000} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}=-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}$$

Faktor z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(z-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}=-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}}$$

Forenkling.

$$z-\frac{1}{80000000000}=\frac{\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z-\frac{1}{80000000000}=-\frac{\sqrt{102399999999}i}{80000000000}$$

Adder \frac{1}{80000000000} på begge sider af ligningen.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$