Løs z^2+27=10z

$${ z }^{ 2 } +27 = 10z$$

Løs for z

$$z=5+\sqrt{2}i\approx 5+1,414213562i$$

$$z=-\sqrt{2}i+5\approx 5-1,414213562i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher 10z fra begge sider.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$z^{2}-10z+27=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -10 med b og 27 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 27}}{2}$$

Kvadrér -10.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 27}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 27.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-108}}{2}$$

Adder 100 til -108.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Tag kvadratroden af -8.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Det modsatte af -10 er 10.

$$z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2} når ± er plus. Adder 10 til 2i\sqrt{2}.

$$z=\frac{10+2\sqrt{2}i}{2}$$

Divider 10+2i\sqrt{2} med 2.

$$z=5+\sqrt{2}i$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{2} fra 10.

$$z=\frac{-2\sqrt{2}i+10}{2}$$

Divider 10-2i\sqrt{2} med 2.

$$z=-\sqrt{2}i+5$$

Ligningen er nu løst.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher 10z fra begge sider.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Subtraher 27 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$z^{2}-10z=-27$$

Divider -10, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -5. Adder derefter kvadratet af -5 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$z^{2}-10z+\left(-5\right)^{2}=-27+\left(-5\right)^{2}$$

Kvadrér -5.

$$z^{2}-10z+25=-27+25$$

Adder -27 til 25.

$$z^{2}-10z+25=-2$$

Faktor z^{2}-10z+25. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(z-5\right)^{2}=-2$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(z-5\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Forenkling.

$$z-5=\sqrt{2}i z-5=-\sqrt{2}i$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$