Løs y^2-6y+25=0

$${ y }^{ 2 } -6y+25=0$$

Løs for y

$$y=3+4i$$

$$y=3-4i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$y^{2}-6y+25=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -6 med b og 25 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 25}}{2}$$

Kvadrér -6.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 25}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 25.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-100}}{2}$$

Adder 36 til -100.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-64}}{2}$$

Tag kvadratroden af -64.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±8i}{2}$$

Det modsatte af -6 er 6.

$$y=\frac{6±8i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{6±8i}{2} når ± er plus. Adder 6 til 8i.

$$y=\frac{6+8i}{2}$$

Divider 6+8i med 2.

$$y=3+4i$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{6±8i}{2} når ± er minus. Subtraher 8i fra 6.

$$y=\frac{6-8i}{2}$$

Divider 6-8i med 2.

$$y=3-4i$$

Ligningen er nu løst.

$$y=3+4i y=3-4i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$y^{2}-6y+25=0$$

Subtraher 25 fra begge sider af ligningen.

$$y^{2}-6y+25-25=-25$$

Hvis 25 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$y^{2}-6y=-25$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-6y+\left(-3\right)^{2}=-25+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$y^{2}-6y+9=-25+9$$

Adder -25 til 9.

$$y^{2}-6y+9=-16$$

Faktor y^{2}-6y+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-3\right)^{2}=-16$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-3\right)^{2}}=\sqrt{-16}$$

Forenkling.

$$y-3=4i y-3=-4i$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$y=3+4i y=3-4i$$