Løs y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Løs for y

$$y=6$$

$$y=9$$

Vejledning i faktorisering

Tilføj 54 på begge sider.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Faktor y^{2}-15y+54 ved hjælp af formel y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-15 ab=54$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Løsningen er det par, der får summen -15.

$$a=-9 b=-6$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(y+a\right)\left(y+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Løs y-9=0 og y-6=0 for at finde Lignings løsninger.

$$y=9 y=6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Tilføj 54 på begge sider.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som y^{2}+ay+by+54. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Løsningen er det par, der får summen -15.

$$a=-9 b=-6$$

Omskriv y^{2}-15y+54 som \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Udy i den første og -6 i den anden gruppe.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet y-9 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Løs y-9=0 og y-6=0 for at finde Lignings løsninger.

$$y=9 y=6$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$y^{2}-15y=-54$$

Adder 54 på begge sider af ligningen.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Hvis -54 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Subtraher -54 fra 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -15 med b og 54 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Kvadrér -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Adder 225 til -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Tag kvadratroden af 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

Det modsatte af -15 er 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{15±3}{2} når ± er plus. Adder 15 til 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Divider 18 med 2.

$$y=9$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{15±3}{2} når ± er minus. Subtraher 3 fra 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Divider 12 med 2.

$$y=6$$

Ligningen er nu løst.

$$y=9 y=6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$y^{2}-15y=-54$$

Divider -15, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{15}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{15}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{15}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Adder -54 til \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor y^{2}-15y+\frac{225}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkling.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adder \frac{15}{2} på begge sider af ligningen.

$$y=9 y=6$$