Løs x^2-x-1=16180

$${ x }^{ 2 } -x-1=16180$$

Løs for x

$$x = \frac{5 \sqrt{2589} + 1}{2} \approx 127,705542332$$

$$x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}\approx -126,705542332$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-x-1=16180$$

Subtraher 16180 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-x-1-16180=16180-16180$$

Hvis 16180 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-x-1-16180=0$$

Subtraher 16180 fra -1.

$$x^{2}-x-16181=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -1 med b og -16181 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-16181\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -16181.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+64724}}{2}$$

Adder 1 til 64724.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{64725}}{2}$$

Tag kvadratroden af 64725.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5\sqrt{2589}}{2}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±5\sqrt{2589}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±5\sqrt{2589}}{2} når ± er plus. Adder 1 til 5\sqrt{2589}.

$$x=\frac{5\sqrt{2589}+1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±5\sqrt{2589}}{2} når ± er minus. Subtraher 5\sqrt{2589} fra 1.

$$x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5\sqrt{2589}+1}{2} x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-x-1=16180$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=16180-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-x=16180-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 16180.

$$x^{2}-x=16181$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=16181+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=16181+\frac{1}{4}$$

Adder 16181 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{64725}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{64725}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64725}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{2589}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{5\sqrt{2589}}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5\sqrt{2589}+1}{2} x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}$$