Løs x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 1 med a, -1 med b, og -1 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Løs ligningen x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

For at produktet bliver positivt, skal x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} begge være negative eller begge være positive. Overvej sagen, når x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} begge er negative.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Overvej sagen, når x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} begge er positive.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$