Løs x^2-7x-9=0

$${ x }^{ 2 } -7x-9=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{2} \approx 8,109772229$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{2}\approx -1,109772229$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-7x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -7 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+36}}{2}$$

Adder 49 til 36.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{85}}{2}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{85}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{85}}{2} når ± er plus. Adder 7 til \sqrt{85}.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{85}}{2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{85} fra 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{85}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-7x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-7x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-7x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$x^{2}-7x=9$$

Divider -7, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=9+\frac{49}{4}$$

Adder 9 til \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{85}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{85}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{85}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{85}}{2}$$

Adder \frac{7}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{85}}{2}$$