Løs x^2-6x-11=4

$${ x }^{ 2 } -6x-11=4$$

Løs for x

$$x=2\sqrt{6}+3\approx 7,898979486$$

$$x=3-2\sqrt{6}\approx -1,898979486$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-6x-11=4$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-6x-11-4=4-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-6x-11-4=0$$

Subtraher 4 fra -11.

$$x^{2}-6x-15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -6 med b og -15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-15\right)}}{2}$$

Kvadrér -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-15\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+60}}{2}$$

Adder 36 til 60.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{96}}{2}$$

Tag kvadratroden af 96.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±4\sqrt{6}}{2}$$

Det modsatte af -6 er 6.

$$x=\frac{6±4\sqrt{6}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±4\sqrt{6}}{2} når ± er plus. Adder 6 til 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+6}{2}$$

Divider 6+4\sqrt{6} med 2.

$$x=2\sqrt{6}+3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±4\sqrt{6}}{2} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{6} fra 6.

$$x=\frac{6-4\sqrt{6}}{2}$$

Divider 6-4\sqrt{6} med 2.

$$x=3-2\sqrt{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2\sqrt{6}+3 x=3-2\sqrt{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-6x-11=4$$

Adder 11 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-6x-11-\left(-11\right)=4-\left(-11\right)$$

Hvis -11 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-6x=4-\left(-11\right)$$

Subtraher -11 fra 4.

$$x^{2}-6x=15$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=15+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$x^{2}-6x+9=15+9$$

Adder 15 til 9.

$$x^{2}-6x+9=24$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=24$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{24}$$

Forenkling.

$$x-3=2\sqrt{6} x-3=-2\sqrt{6}$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$x=2\sqrt{6}+3 x=3-2\sqrt{6}$$