Løs x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1,414213562i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -6 med b og 11 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Kvadrér -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Adder 36 til -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Tag kvadratroden af -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Det modsatte af -6 er 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} når ± er plus. Adder 6 til 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

Divider 6+2i\sqrt{2} med 2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{2} fra 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

Divider 6-2i\sqrt{2} med 2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Subtraher 11 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

Hvis 11 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-6x=-11$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Adder -11 til 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Forenkling.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$