Løs x^2-5x+8=0

$${ x }^{ 2 } -5x+8=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{2}\approx 2,5+1,322875656i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{2}\approx 2,5-1,322875656i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-5x+8=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -5 med b og 8 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 8}}{2}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 8}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 8.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-32}}{2}$$

Adder 25 til -32.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-7}}{2}$$

Tag kvadratroden af -7.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{7}i}{2}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{7}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{7}i}{2} når ± er plus. Adder 5 til i\sqrt{7}.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{7}i}{2} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{7} fra 5.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-5x+8=0$$

Subtraher 8 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-5x+8-8=-8$$

Hvis 8 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-5x=-8$$

Divider -5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-8+\frac{25}{4}$$

Adder -8 til \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{7}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Adder \frac{5}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{2}$$